미적분학의 기초
미적분학에서 기초는 공리와 정의에서 주제의 엄밀한 발전을 의미합니다. 초기 미적분학에서는 무한소량의 사용은 엄격하지 않다고 여겨졌고 많은 저자들, 특히 미셸 롤과 버클리 주교에 의해 격렬한 비판을 받았습니다. 버클리는 1734년 저서 『The Analyst』에서 무한한 수를 망령으로 묘사한 것으로 유명합니다. 뉴턴과 라이프니츠에 이어 세기의 대부분을 수학자가 차지하고 있던 미적분학의 엄밀한 기초를 구축해 오늘날에도 어느 정도 활발한 연구 영역입니다. 콜린 매클로린을 포함한 몇몇 수학자들은 무한초를 사용하는 것의 건전성을 증명하려고 했지만 카우치와 카를 바이어슈트라스의 연구를 통해 최종적으로 무한초의 '개념'을 피하는 방법이 발견된 것은 150년 후였습니다. 미분 적분학의 기초가 마련되었습니다. 카우치스코르스드애널리시에서는 무한소 관점에서의 연속성 정의, 미분 정의에서의 (α, γ)-한계의 (약간 부정확한) 프로토타입을 포함하는 폭넓은 기초적 접근법을 발견합니다. 카를 바이어슈트라스는 그의 작품에서 한계라는 개념을 공식화하고 무한소수를 배제했습니다(그러나 그의 정의는 실제로는 nilsquare 무한소수를 검증할 수 있습니다). 카를 바이어슈트라스연구 후 최종적으로 무한소량이 아닌 한계를 바탕으로 미적분을 수행하는 것이 일반적이 되었지만, 그 주제는 아직도 가끔 '무한소 미적분'이라고 불리기도 합니다. 베른하르트 리먼은 적분에 대한 정확한 정의를 내리기 위해 이러한 아이디어를 사용했습니다. 또한 이 시기에 미적분 개념이 복소해석의 발달과 함께 복소평면으로 일반화되기도 했습니다. 현대 수학에서 미적분학의 기초는 실해석 분야에 포함되며 미적분학의 정리와 증명이 완전히 포함되어 있습니다. 미적분 범위도 대폭 확대되었습니다. 앙리 르베그는 에밀 보렐의 초기 개발을 기반으로 측도 이론을 발명하고 가장 병리학적인 기능을 제외한 모든 적분을 정의하는 데 사용했습니다. 로랑 슈바르는 분포를 도입하며, 이는 모든 함수의 도함수를 취하는 데 사용할 수 있습니다. 미적분학의 기초에 대한 접근법은 극한만 있는것이 아닙니다. 또 다른 방법은 아브라함 로빈슨의 비표준 분석을 사용하는 것입니다. 1960년대 개발된 로빈슨의 접근법은 원래 뉴턴 라이프니츠 개념처럼 수학적 논리에서 나온 기술적 기계를 사용하여 무한초와 무한수로 실수계를 증강합니다. 결과적으로 얻을 수 있는 수는 초실수라고 불리며 일반 미적분 규칙을 라이프니츠처럼 발전시키는 데 사용할 수 있습니다. 또 파생 과정에서 고출력 무한소를 무시하도록 의무화한다는 점에서 비표준 분석과는 다른 매끄러운 무한소 해석도 있습니다. 프랜시스 윌리엄 로비어의 사고방식을 바탕으로 카테고리 이론 기법을 채택하여 매끄러운 무한소해석은 모든 함수를 연속적이며 이산적인 실체로 표현할 수 없는 것으로 간주합니다. 수, 함수 또는 다른 수학적 대상이 존재한다는 증거가 대상 구성을 부여해야 한다고 주장하는 수학 분야인 건설적 수학에서도 제외된 중간 법칙은 거부되었습니다. 건설적인 틀에서 미적분의 재구축은 일반적으로 건설적인 분석의 대상이 됩니다.
미적분학의 중요성
미적분학 아이디어의 대부분은 그리스, 중국, 인도, 이라크, 페르시아, 일본에서 개발되었지만 17세기에 유럽에서 미적분학이 사용되기 시작했습니다.이때 뉴턴과 라이프니츠는 그 기본 원리를 소개하기 위해 초기 수학자들의 연구를 바탕으로 했습니다. 헝가리의 폴리마스 존 폰 노이만은 이 작품에 대해 썼습니다. 미적분학은 현대 수학의 첫 번째 성과이며, 그 중요성을 과대평가하기는 어렵습니다. 그것은 현대 수학의 시작을 무엇보다도 명확하게 정의하고 있으며, 그 논리적 발전인 수학적 분석 시스템은 정확한 사고에 있어 가장 큰 기술적 진보를 여전히 구성하고 있다고 생각합니다. 미분 연산의 응용에는 속도와 가속도, 곡선 기울기, 최적화를 포함한 계산이 포함됩니다. 적분 연산의 응용에는 면적, 부피, 원호 길이, 질량 중심, 일 및 압력을 포함하는 계산이 포함됩니다. 보다 고도의 애플리케이션에는 전력 계열과 푸리에 급수가 포함됩니다. 미적분학은 또한 공간, 시간 및 운동의 성질을 보다 정확하게 이해하는 데 사용됩니다. 수세기 동안 수학자와 철학자들은 제로에 의한 분할이나 무한히 많은 수의 합을 포함한 역설과 씨름해 왔습니다. 이러한 문제는 운동과 영역 연구에서 발생합니다. 고대 그리스 철학자 엘레아의 제노는 이러한 역설의 유명한 예를 몇 가지 들었습니다. 미적분학은 역설을 해결하는 도구, 특히 극한 과 무한급수를 제공합니다. 무한소의 접근법은 19세기에 무한소의 개념을 정확하게 하기 어려웠기 때문에 지지를 잃었습니다. 19세기 후반 학계에서는 무한한 유사성이 한계에 대한 델타 접근법인 입실론으로 대체되었습니다. 제한은 특정 입력에서의 함수 동작을 근방 입력에서의 그 값이라는 관점에서 설명합니다. 이것들은 실수 시스템의 고유 구조(상한이 가장 작은 속성을 가진 메트릭 공간으로서)를 사용하여 소규모 동작을 캡처합니다. 이 치료에서 미적분은 특정 한계를 조작하기 위한 기술의 집합입니다. 무한소수는 더 작은 수의 시퀀스로 대체되며, 이러한 시퀀스에 대한 제한 동작을 취함으로써 함수의 무한소 동작을 찾습니다. 한계는 미적분학의 보다 엄밀한 기초를 제공한다고 생각되어 20세기에 표준적인 접근 방식이 되었습니다. 그러나 무한소 개념은 20세기에 비표준 분석과 원활한 무한소 분석이 도입되면서 무한소를 조작하기 위한 견고한 토대를 제공하면서 부활했습니다.
