집합론이란
집합론은 집합을 연구하는 수학적 논리 분야이며 비공식적으로 객체의 집합으로 기술할 수 있습니다. 모든 종류의 물체를 집합, 집합 이론으로 묶을 수는 있지만 수학의 한 분야로는 수학 전체와 관련된 것이 대부분입니다. 세트 이론의 현대적인 연구는 1870년대에 독일 수학자 리처드 데데킨드와 게오르크 캔터에 의해 시작되었습니다. 특히 게오르크 캔터는 일반적으로 세트 이론의 창시자로 여겨집니다. 이 초기 단계에서 조사된 비정형화 시스템은 나이브 세트 이론이라는 이름으로 이루어집니다. 순진한 집합론(러셀의 패러독스, 캔터의 패러독스, 불리 포르티의 역설 등) 내에서 역설이 발견된 후 20세기 초에 다양한 공리체계가 제안되었고 그 중에서도 체르멜로-프렝켈 집합론(선택공리 유무에 관계없이)은 여전히 가장 잘 알려져 있고 연구되고 있는 것입니다. 집합론은 수학 전체의 기초 시스템으로서 일반적으로 사용되며, 특히 선택 공리를 갖는 체르멜로 프렝켈 집합론의 형태로 사용됩니다. 세트 이론은 그 기초적인 역할 외에도 무한 수학 이론을 발전시키기 위한 틀도 제공하며 컴퓨터 과학(관계 대수 이론 등), 철학 및 형식 시맨틱스에서 다양한 응용이 있습니다. 그 기초적인 매력은 그 역설, 무한한 개념에의 영향 및 그 복수의 응용과 함께 집합론을 수학의 논리학자나 철학자에게 있어서 큰 관심사가 되었습니다. 세트 이론에 관한 현대의 연구는 실수열 구조부터 대기수 일관성 연구까지 폭넓은 주제를 망라하고 있습니다.
집합론의 역사
수학적인 주제는 보통 많은 연구자들 사이의 상호작용에 의해 출현하고 진화합니다. 그러나 세트 이론은 1874년 게오르크 캔터의 논문 '모든 실대수 컬렉션의 속성'에 의해 창안되었습니다. 기원전 5세기 이후 서양 엘레아의 그리스 수학자 제노와 동양의 초기 인도 수학자들은 무한대라는 개념에 어려움을 겪어왔습니다. 특히 주목할 만한 것은 19세기 전반 버나드 볼차노의 작품입니다. 무한에 대한 현대적인 이해는 1870년부터 1874년에 걸쳐 시작되어 실제 분석에서 캔터의 연구에 의해 동기 부여되었습니다. 1872년 캔터와 리처드 데데킨트의 만남은 캔터의 사고에 영향을 미쳐 1874년 논문에서 정점에 달했습니다. 캔터의 연구는 당초 당시 수학자들을 양극화시켰습니다. 칼 와이어스트라스와 데데킨트는 캔터를 지지했지만 현재 수학적 구성주의의 창시자로 간주되는 레오폴드 크로네커는 그렇게 하지 않았습니다. 세트 간 일대일 대응, 정수보다 실수가 많다는 그의 증명, 파워셋 연산에 의한 무한대("Cantor's paradise") 등 칸토리아 개념의 유용성으로 최종적으로 널리 보급되었습니다. 세트 이론의 이 유용성은 1898년 아서 쇤 프라이즈가 클라인의 백과사전에 기고한 '맹겐레'라는 기사로 이어졌습니다. 세트 이론에서 다음 흥분의 물결은 1900년경에 일어났고 칸토리아 세트 이론의 몇몇 해석이 안티노믹스 또는 패러독스라고 불리는 몇 가지 모순을 일으키는 것으로 발견되었습니다. 1899년 캔터 자신은 "모든 집합의 기수는 무엇입니까?"라는 질문을 던지며 관련 역설을 얻었습니다. 러셀은 1903년 『수학 원리』의 대륙 수학 리뷰에서 역설을 주제로 사용했습니다. 러셀은 클래스라는 단어를 집합 대신 사용했고, 그 후 더 기술적으로 사용되었습니다. 1906년, 이 용어는 케임브리지 대학 출판사에서 출판한 부부 윌리엄 헨리 영과 그레이스 치셤 영의 저서 『Theory of Sets of Points』에 등장했습니다. 세트 이론의 추진력은 역설에 관한 논의가 그 포기로 이어지지 않는 것과 같았습니다. 1908년 제르멜로의 작품과 1922년 아브라함 플라엔켈과 소랄프 스콜렘의 작품은 집합이론에 가장 일반적으로 사용되는 공리집합이 된 공리집합을 의미합니다. 앙리 르베그와 같은 분석가의 연구는 세트 이론의 큰 수학적 효용성을 증명했으며, 그것은 그 이후 현대 수학 구조에 포함되어 있습니다. 세트 이론은 일반적으로 기초 시스템으로서 사용됩니다만, 몇몇 분야(대수 기하학이나 대수 토폴로지 등)에서는 카테고리 이론이 바람직한 기초로 여겨지고 있습니다.
집합론의 응용
많은 수학적 개념은 설정된 이론적 개념만을 사용하여 정확하게 정의할 수 있습니다. 예를 들어 그래프, 다양체, 고리, 벡터 공간 및 관계 대수와 같이 다양한 수학적 구조는 모두 여러 가지(축성) 특성을 만족시키는 집합으로 정의할 수 있습니다. 등가성과 순서 관계는 수학에서 어디에나 있으며 수학적 관계 이론은 세트 이론으로 기술할 수 있습니다. Principia Mathematica 제1권이 출간된 이래 대부분의 (또는 모든) 수학적 정리는 일차 논리 또는 이차 논리를 사용하여 많은 정의에서 확장된 집합 이론용으로 적절하게 설계된 공리 세트를 사용하여 도출될 수 있다고 주장되어 왔습니다. 예를 들어, 자연수와 실수의 성질은 집합 이론 내에서 도출될 수 있습니다. 왜냐하면 각 수계는 임의의 무한 집합인 적당한 등가 관계 하에서의 등가 클래스의 집합에 의해 동정될 수 있기 때문입니다.
